Es seien ${\displaystyle {}f}$ bzw. ${\displaystyle {}g}$ die Grenzfunktionen der beiden Funktionenfolgen. Sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Zu ${\displaystyle {}{\frac {\epsilon }{2}}}$ gibt es aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von ${\displaystyle {}f_{n}}$ gegen ${\displaystyle {}f}$ ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ und alle ${\displaystyle {}x\in T}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {f(x)-f_{n}(x)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,}$

gilt. Ebenso gilt für ${\displaystyle {}n\geq n_{1}}$ und ${\displaystyle {}x\in T}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {g(x)-g_{n}(x)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.}$

Für ${\displaystyle {}n\geq {\max {\left(n_{0},n_{1}\right)}}}$ gilt daher für alle ${\displaystyle {}x\in T}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {f(x)+g(x)-f_{n}(x)-g_{n}(x)}\vert &\leq \vert {f(x)-f_{n}(x)}\vert +\vert {g(x)-g_{n}(x)}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}f_{n}+g_{n}}$

${\displaystyle {}f+g}$