a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\left(h\cdot g\right)}\circ f\right)}(x)&={\left(h\cdot g\right)}{\left(f(x)\right)}\\&=h(f(x))\cdot g(f(x))\\&={\left(h\circ f\right)}(x)\cdot {\left(g\circ f\right)}(x)\\&={\left({\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\right)}(x),\end{aligned}}}$

was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für ${\displaystyle {}f,g,h}$ jeweils die Identität, also die Abbildung ${\displaystyle {}x\mapsto x}$. Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren ${\displaystyle {}x\mapsto x^{2}}$. Daher ist in diesem Beispiel die Funktion

${\displaystyle {\left(h\circ g\right)}\cdot f}$

gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion

${\displaystyle {\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}}$

hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung ${\displaystyle {}x\mapsto {\left(x^{2}\right)}^{2}=x^{4}}$.