Der Induktionsanfang für ${\displaystyle {}n=2}$ ist durch

${\displaystyle {}f_{3}\cdot f_{1}-f_{2}^{2}=2\cdot 1-1^{2}=1=(-1)^{2}\,}$

gesichert. Sei also die Aussage für ein ${\displaystyle {}n}$ schon bewiesen und betrachten wir die Aussage für ${\displaystyle {}n+1}$. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f_{n+2}f_{n}-f_{n+1}^{2}&={\left(f_{n}+f_{n+1}\right)}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n+1}\right)}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n}-f_{n-1}\right)}\\&=f_{n}^{2}-f_{n+1}f_{n-1}\\&=(-1){\left(f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}\right)}\\&=(-1)(-1)^{n}\\&=(-1)^{n+1}.\end{aligned}}}$