Sei also ${\displaystyle {}p}$ ein Primteiler von ${\displaystyle {}F_{r}=2^{2^{r}}+1}$. Dies bedeutet, dass in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ die Gleichung

${\displaystyle {}2^{2^{r}}=-1\,}$

vorliegt. Nach quadrieren ist ${\displaystyle {}2^{2^{r+1}}=1}$ und die Ordnung von ${\displaystyle {}2}$ ist ${\displaystyle {}2^{r+1}}$ (eine kleinere Ordnung ist nicht möglich, da diese ein Teiler von ${\displaystyle {}2^{r+1}}$ sein muss, aber ${\displaystyle {}2^{2^{r}}\neq 1}$ ist). Diese Ordnung ist ein Teiler von ${\displaystyle {}p-1}$, woraus folgt, dass ${\displaystyle {}p=1\mod 8}$ ist. Dies bedeutet nach dem zweiten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass ${\displaystyle {}2}$ ein Quadratrest modulo ${\displaystyle {}p}$ ist. Sei ${\displaystyle {}x^{2}=2\mod p}$. Dann ist aber die Ordnung von ${\displaystyle {}x}$ genau ${\displaystyle {}2^{r+2}}$. Nach dem Schluss von eben ist ${\displaystyle {}2^{r+2}}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}p-1}$, was ${\displaystyle {}p=2^{r+2}a+1}$ bedeutet.