(1) Mittels partieller Integration ergibt sich (für reelle Zahlen ${\displaystyle b\geq a>0}$ bei fixiertem ${\displaystyle x>0}$)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&=-t^{x}e^{-t}|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=-b^{x}e^{-b}+a^{x}e^{-a}+x\cdot \int _{a}^{b}t^{x-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle {}b\rightarrow \infty }$ geht ${\displaystyle {}b^{x}e^{-b}\rightarrow 0}$ und für ${\displaystyle {}a\rightarrow 0}$ geht ${\displaystyle {}a^{x}e^{-a}\rightarrow 0}$ (da ${\displaystyle {}x}$ positiv ist). Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man ${\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,(x)=x\cdot \operatorname {Fak} \,(x-1)}$.
(2). Es ist

${\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,(0)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.}$

(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
(4). Es ist

${\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.}$

Dies ergibt sich mit der Substitution ${\displaystyle {}t=s^{2}}$ und dem sogenannten Fehlerintegral.