a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ${\displaystyle {}f}$ ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind

${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {z(x^{2}+y^{2})-2x^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,}$

${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial z}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,.}$

Der Gradient zu ${\displaystyle {}f}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}P=(x,y,z)}$ ist demnach der Vektor

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,f(P)=\left({\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)\,.}$

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ${\displaystyle {}0}$ ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei ${\displaystyle {}x=0}$ der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls ${\displaystyle {}0}$ und wegen ${\displaystyle {}y>0}$ folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass ${\displaystyle {}z=0}$ sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form ${\displaystyle {}(0,y,0)}$ geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert ${\displaystyle {}0}$, so dass es kein isoliertes Extremum gibt.