Wenn man eine bestimmte Geldmenge ${\displaystyle {}g}$ zur Verfügung hat und ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Produkte zum fixierten Stückpreis ${\displaystyle {}a_{i}}$ kaufen möchte, wobei noch nicht feststeht, wie viel man von jedem Produkt kaufen möchte, so ergibt sich die Nebenbedingung

${\displaystyle {}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=g\,}$

auf ${\displaystyle {}U=\mathbb {R} _{+}^{n}}$. Unter dieser Nebenbedingung möchte man den Nutzen optimieren. Betrachten wir eine Zielfunktion der Form

${\displaystyle {}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,.}$

Nach Fakt ergibt sich die Bedingung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\alpha _{2}x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\vdots \\\alpha _{n}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}-1}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Wir multiplizieren die ${\displaystyle {}i}$-te Bedingung mit ${\displaystyle {}x_{i}}$ und erhalten die Bedingungen

${\displaystyle {}\alpha _{i}x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}=\lambda a_{i}x_{i}\,.}$

Mit dem Ansatz

${\displaystyle {}\lambda =cx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}x_{i}={\frac {\alpha _{i}}{ca_{i}}}\,,}$

wobei man ${\displaystyle {}c}$ so bestimmt, dass der Punkt auf dem affin-linearen Unterraum liegt, also

${\displaystyle {}c={\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}{g}}\,.}$