(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

${\displaystyle {}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=\exp \left(x-x\right)=\exp 0=1\,}$

aufgrund von Fakt.
(3) folgt für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ aus Fakt durch Induktion, und daraus wegen (2) auch für negatives ${\displaystyle {}n}$.
(4). Die Nichtnegativität ergibt sich aus

${\displaystyle {}\exp x=\exp {\left({\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}\right)}=\exp {\frac {x}{2}}\cdot \exp {\frac {x}{2}}={\left(\exp {\frac {x}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.}$

(5). Für reelles ${\displaystyle {}x}$ ist ${\displaystyle {}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1}$, so dass nach (4) ein Faktor ${\displaystyle {}\geq 1}$ sein muss und der andere Faktor ${\displaystyle {}\leq 1}$. Für ${\displaystyle {}x>0}$ ist

${\displaystyle {}\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+\ldots >1\,,}$

da ja hinten nur positive Zahlen hinzuaddiert werden.
(6). Für reelle ${\displaystyle {}y>x}$ ist ${\displaystyle {}y-x>0}$ und daher nach (5) ${\displaystyle {}\exp \left(y-x\right)>1}$, also

${\displaystyle {}\exp y=\exp \left(y-x+x\right)=\exp \left(y-x\right)\cdot \exp x>\exp x\,.}$