Für ${\displaystyle {}x=0}$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

${\displaystyle {}\vert {\frac {\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {x}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {x}\vert }{n+1}}\,.}$

Dies ist für ${\displaystyle {}n\geq 2\vert {x}\vert }$ kleiner als ${\displaystyle {}1/2}$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.