Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}$

mit ${\displaystyle {}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {z^{i}}{i!}}{\frac {w^{n-i}}{(n-i)!}}}$. Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${\displaystyle {}n}$-te Summand der Exponentialreihe von ${\displaystyle {}z+w}$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

${\displaystyle {}{\frac {(z+w)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}z^{i}w^{n-i}=c_{n}\,,}$

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.