Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung

${\displaystyle {}{\frac {f(x)}{x-s(x)}}={\frac {f(x+1)}{x+1-s(x)}}\,}$

gelten. Wegen

${\displaystyle {}f(x+1)=f(x)f(1)\,}$

folgt daraus

${\displaystyle {}{\frac {1}{x-s(x)}}={\frac {f(1)}{x+1-s(x)}}\,.}$

Umstellen ergibt

${\displaystyle {}f(1)(x-s(x))=x+1-s(x)\,}$

und

${\displaystyle {}x(f(1)-1)=1+s(x)(f(1)-1)\,}$

und schließlich

${\displaystyle {}s(x)=x-{\frac {1}{f(1)-1}}\,.}$

Somit ist auch

${\displaystyle {}s(x+1)=x+1-{\frac {1}{f(1)-1}}\,}$

und daher ist

${\displaystyle {}s(x+1)-s(x)=x+1-{\frac {1}{f(1)-1}}-{\left(x-{\frac {1}{f(1)-1}}\right)}=1\,.}$