Es sei

${\displaystyle {}a=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,}$

die kanonische Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}a}$ mit verschiedene Primfaktoren. Dann ist

${\displaystyle {}{\varphi (a)}=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,}$

nach Fakt. Entsprechend ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\varphi (a^{n})}&={\varphi ({\left(p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\right)}^{n})}\\&={\varphi (p_{1}^{nr_{1}}\cdots p_{k}^{nr_{k}})}\\&=(p_{1}-1)p_{1}^{nr_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{nr_{k}-1}\\&=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1+(n-1)r_{1}}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1+(n-1)r_{k}}\\&=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}p_{1}^{(n-1)r_{1}}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}p_{k}^{(n-1)r_{k}}\\&=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\cdot {\left(p_{1}^{r_{1}}\right)}^{(n-1)}\cdots {\left(p_{k}^{r_{k}}\right)}^{(n-1)}\\&={\varphi (a)}a^{n-1}.\end{aligned}}}$