Die Aussage wird durch Induktion über ${\displaystyle {}i}$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Unterraum aufspannen. Für ${\displaystyle {}i=1}$ muss man lediglich ${\displaystyle {}v_{1}}$ normieren, also durch

${\displaystyle {}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}\,}$

ersetzen. Sei die Aussage für ${\displaystyle {}i}$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{i}}$ mit ${\displaystyle {}\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle }$ bereits konstruiert. Wir setzen

${\displaystyle {}w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.}$

Dieser Vektor steht senkrecht auf allen ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{i}}$ und offenbar ist ${\displaystyle {}\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle }$. Durch Normieren von ${\displaystyle {}w_{i+1}}$ erhält man ${\displaystyle {}u_{i+1}}$.