Es sei ${\displaystyle {}\varphi (v)=\lambda v}$ mit ${\displaystyle {}v\neq 0}$, d.h. ${\displaystyle {}v}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda }$. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.}$

Wegen ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \neq 0}$ folgt daraus ${\displaystyle {}\vert {\lambda }\vert =1}$, also ${\displaystyle {}\lambda =\pm 1}$.