Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} }$ annehmen. Aufgrund von Fakt können wir ${\displaystyle {}m=1}$ annehmen. Die Abbildung sei durch

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},}$

mit ${\displaystyle {}a_{i}\in \mathbb {R} }$ gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei ${\displaystyle {}a={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}>0}$. Es sei ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Für alle ${\displaystyle {}y\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(x,y\right)}\leq {\frac {\epsilon }{na}}}$ ist insbesondere ${\displaystyle {}\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{na}}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ und daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)}&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}}\vert \\&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq na\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \\&\leq \epsilon .\end{aligned}}}$