Seien zwei Elemente ${\displaystyle {}r_{0}=a,r_{1}=b\neq 0}$ eines euklidischen Bereiches ${\displaystyle {}R}$ mit euklidischer Funktion ${\displaystyle {}\delta }$ gegeben. Dann besitzt die Folge ${\displaystyle {}r_{i}}$, ${\displaystyle {}i=0,1,2,\ldots }$, der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${\displaystyle {}r_{i+2}=0{\text{ oder }}\delta (r_{i+2})<\delta (r_{i+1})}$.
2. Es gibt ein (minimales) ${\displaystyle {}k\geq 2}$ mit ${\displaystyle {}r_{k}=0}$.
3. Es ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} (r_{i+1},r_{i})=\operatorname {ggT} (r_{i},r_{i-1})\,.}$

4. Sei ${\displaystyle {}k\geq 2}$ der erste Index derart, dass ${\displaystyle {}r_{k}=0}$ ist. Dann ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} (a,b)=r_{k-1}\,.}$