Den diagonalisierbaren Endomorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$ kann man bezüglich einer geeigneten Basis als Diagonalmatrix

${\displaystyle {}D={\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}\,}$

darstellen. Die ${\displaystyle {}k}$-te Potenz davon ist

${\displaystyle {}D^{k}={\begin{pmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1\,n-1}^{k}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{nn}^{k}\end{pmatrix}}\,.}$

Wegen der Nilpotenz gibt es ein ${\displaystyle {}k}$, wo dies die Nullmatrix ist, also ist

${\displaystyle {}a_{ii}^{k}=0\,}$

für alle ${\displaystyle {}i}$. In einem Körper folgt aber aus ${\displaystyle {}a^{k}=0}$ direkt ${\displaystyle {}a=0}$,

${\displaystyle {}D}$