Wir führen Induktion nach ${\displaystyle {}r}$, bei ${\displaystyle {}r=0}$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Sei also ${\displaystyle {}r\geq 1}$. Nach Fakt ist das Zentrum ${\displaystyle {}Z}$ von ${\displaystyle {}G}$ nichttrivial. Das Zentrum ist ein Normalteiler in ${\displaystyle {}G}$ und somit liegt eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle \{e\}\longrightarrow Z\longrightarrow G\longrightarrow G/Z\longrightarrow \{e\}}$

vor. Die Restklassengruppe besitzt ${\displaystyle {}p^{s}}$ Elemente mit ${\displaystyle {}s<r}$. Daher kann man auf die Restklassengruppe die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält, dass diese auflösbar ist. Als kommutative Gruppe ist das Zentrum ebenfalls auflösbar. Somit ergibt Fakt,

${\displaystyle {}G}$