Für die Faser über ${\displaystyle {}1}$ gibt es ${\displaystyle {}{\binom {n}{r_{1}}}}$ Möglichkeiten, man muss ja die ${\displaystyle {}r_{1}}$ Elemente auswählen, die auf die ${\displaystyle {}1}$ gehen sollen. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es für die Faser über ${\displaystyle {}2}$ genau ${\displaystyle {}{\binom {n-r_{1}}{r_{2}}}}$ Möglichkeiten. In diesem Sinne gibt es für die Faser über ${\displaystyle {}j}$ genau ${\displaystyle {}{\binom {n-r_{1}-\cdots -r_{j-1}}{r_{j}}}}$ Möglichkeiten. Wenn man diese Zahlen miteinander multipliziert, so ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\binom {n}{r_{1}}}{\binom {n-r_{1}}{r_{2}}}\cdots {\binom {n-r_{1}-\cdots -r_{k-2}}{r_{k-1}}}\cdot {\binom {n-r_{1}-\cdots -r_{k-1}}{r_{k}}}\\&={\frac {n\cdots (n-r_{1}+1)}{r_{1}!}}\cdot {\frac {(n-r_{1})\cdots (n-r_{1}-r_{2}+1)}{r_{2}!}}\cdots {\frac {(n-r_{1}-\cdots -r_{k-2})\cdots (n-r_{1}-\cdots -r_{k-2}-r_{k-1}+1)}{r_{k-1}!}}\cdot {\frac {(n-r_{1}-\cdots -r_{k-2}-r_{k-1})\cdots 1}{r_{k}!}}\\&={\frac {n!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{k}!}},\,\end{aligned}}}$

also der Multinomialkoeffizient.