Da ${\displaystyle {}M}$ endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge ${\displaystyle {}\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}}$ endlich, da es für jedes Element nur ${\displaystyle {}{\#\left(M\right)}}$ viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen ${\displaystyle {}\varphi ^{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von ${\displaystyle {}\mathbb {N} _{+}}$ in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen ${\displaystyle {}m\neq n}$ mit

${\displaystyle {}\varphi ^{m}=\varphi ^{n}\,.}$