Sei

${\displaystyle {}L_{1}=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]\,}$

und

${\displaystyle {}L_{2}=K[y_{1},\ldots ,y_{n}]\,.}$

Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}n}$, wobei bei ${\displaystyle {}n=0}$ die Aussage mit ${\displaystyle {}M=L_{1}}$ klar ist. Sei die Aussage für maximal ${\displaystyle {}n}$ Erzeuger bewiesen. Wir betrachten die Körperkette

${\displaystyle {}K\subseteq L'=K[y_{1},\ldots ,y_{n}]\subseteq L_{2}=K[y_{1},\ldots ,y_{n},y_{n+1}]=L'[y_{n+1}]\,.}$

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen endlichen Erweiterungskörper ${\displaystyle {}K\subseteq M'}$. der sowohl ${\displaystyle {}L_{1}}$ als auch ${\displaystyle {}L'}$ enthält. Da ${\displaystyle {}L'[Y]}$ ein Hauptidealbereich ist, ist

${\displaystyle {}L_{2}=L'[y_{n+1}]=L'[Y]/(F)\,}$

mit einem irreduziblen Polynom ${\displaystyle {}F\neq 0}$ aus ${\displaystyle {}L'[Y]}$. Durch die Körpererweiterung ${\displaystyle {}L'\subseteq M'}$ haben wir ${\displaystyle {}L'[Y]\subseteq M'[Y]}$ und insbesondere ${\displaystyle {}F\in M'[Y]}$. Es sei ${\displaystyle {}G\in M'[Y]}$ ein irreduzbles Polynom, das ${\displaystyle {}F}$ teilt. Unter dem Ringhomomorphismus

${\displaystyle L'[Y]\longrightarrow M'[Y]\longrightarrow M'[Y]/(G)=:M}$

wird ${\displaystyle {}F}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Satz vom induzierten Ringhomomorphismus einen (injektiven) ${\displaystyle {}L'}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle L_{2}=L'[Y]/(F)\longrightarrow M.}$

Dabei ist ${\displaystyle {}M}$ ein Körper, der sowohl ${\displaystyle {}M'}$ (und damit auch ${\displaystyle {}L_{1}}$)

${\displaystyle {}L_{2}}$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}K}$