Man gebe Beispiele für eine endliche Galoiserweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$ mit zugehörigem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ derart, dass der natürliche Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(R^{\times })}$

1. bijektiv,
2. injektiv und nicht surjektiv,
3. surjektiv und nicht injektiv,
4. weder injektiv noch surjektiv