Das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+2X+1}$ ist irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]}$, da es keine Nullstellen hat. Also ist

${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{27}\cong \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{3}+2X+1\right)}\,,}$

wir nehmen ${\displaystyle {}1,X,X^{2}}$ als ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}$-Basis. Der Frobenius sendet ${\displaystyle {}1}$ auf ${\displaystyle {}1}$, ${\displaystyle {}X}$ auf

${\displaystyle {}X^{3}=-2X-1=X+2\,}$

und ${\displaystyle {}X^{2}}$ auf

${\displaystyle {}X^{6}=(X+2)^{2}=X^{2}+4X+4=X^{2}+X+1\,.}$

Die beschreibende Matrix ist also

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$