Nach Fakt ist

${\displaystyle {}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{(1-z^{d_{1}})}}\cdots {\frac {1}{(1-z^{d_{n}})}}\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}1-z^{d}=(1-z){\left(1+z+\cdots +z^{d-1}\right)}}$ ist dies gleich

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{n}}}\cdot {\frac {1}{1+z+\cdots +z^{d_{1}-1}}}\cdots {\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d_{n}-1}}}.}$

Der Bruch ${\displaystyle {}{\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d-1}}}}$ hat um ${\displaystyle {}z=1}$ die Potenzreihenentwicklung

${\displaystyle {\frac {1}{d}}-{\frac {d-1}{2d}}(z-1)+\ldots ,}$

was sich durch Einsetzen und Ableiten ergibt. Die Laurent-Entwicklung um ${\displaystyle {}z=1}$ ergibt sich durch Einsetzen zu

${\displaystyle \Phi _{G}(z)={\frac {1}{d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n}+{\frac {d_{1}+\cdots +d_{n}-n}{2d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n+1}+\ldots \,.}$

Der Vergleich mit Fakt ergibt die Behauptung.