Es sei ${\displaystyle {}(G,1,\cdot )}$ eine endliche Gruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Die gemäß Beispiel zugehörige Hopf-Algebra ist einfach ${\displaystyle {}H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}}$, also das ${\displaystyle {}{\#\left(G\right)}}$-fache direkte Produkt von ${\displaystyle {}K}$ mit sich selbst. Ein ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K}$

muss (wegen ${\displaystyle e_{\sigma }\cdot e_{\tau }=0}$ für ${\displaystyle \sigma \neq \tau }$) eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. ${\displaystyle {}\varphi }$ muss die Auswertung von ${\displaystyle {}f\in \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}}$ an einem Gruppenelement ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ sein. Daher ist

${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}=G\,.}$

Darüber hinaus ist

${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}\,.}$

Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von ${\displaystyle {}\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}}$ und ihre zugehörigen ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen (einen Gruppenelement ${\displaystyle \sigma \in G}$ entspricht die Projektion ${\displaystyle {}p_{\sigma }}$ auf die ${\displaystyle {}\sigma }$-Komponente und ihr Kern). Ebenso ist

${\displaystyle {}G\times G=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\right)}\times _{K}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\otimes _{K}H\right)}\,.}$

Ein Paar ${\displaystyle {}{\left(\sigma ,\tau \right)}\in G\times G}$ entspricht dabei dem ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle H\otimes _{K}H\longrightarrow K,\,f_{1}\otimes f_{2}\longmapsto \sigma (f_{1})\cdot \tau (f_{2}).}$

Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation ${\displaystyle {}\mu }$ auf ${\displaystyle {}G}$ von ${\displaystyle {}\sigma }$ und ${\displaystyle {}\tau }$, angewendet auf ${\displaystyle {}e_{\rho }}$, ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\mu {\left(\sigma ,\tau \right)}(e_{\rho })&={\left({\left(\sigma \otimes \tau \right)}\circ \Delta \right)}(e_{\rho })\\&={\left(\sigma \otimes \tau \right)}{\left(\sum _{\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\rho }e_{\rho _{1}}\otimes e_{\rho _{2}}\right)}\\&=\sum _{\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\rho }\sigma (e_{\rho _{1}})\cdot \tau (e_{\rho _{2}}).\end{aligned}}}$

Die Summanden sind nur dann gleich ${\displaystyle {}1}$ (andernfalls sind sie ${\displaystyle {}0}$), wenn ${\displaystyle {}\rho _{1}=\sigma }$ und ${\displaystyle {}\rho _{2}=\tau }$ ist. Daher ist die Summe nur im Fall

${\displaystyle {}\rho =\sigma \tau \,}$

gleich ${\displaystyle {}1}$ und sonst gleich ${\displaystyle {}0}$. Dies bedeutet wiederum

${\displaystyle {}\mu (\sigma ,\tau )=\sigma \tau \,,}$

da ja ${\displaystyle {}\sigma \tau }$ ebenfalls genau an ${\displaystyle {}e_{\sigma \tau }}$ den Wert ${\displaystyle {}1}$ und sonst überall den Wert ${\displaystyle {}0}$ besitzt und die ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen von ${\displaystyle {}H}$ nach ${\displaystyle {}K}$ auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück.