Ein achsenparalleles Ellipsoid wird im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ durch

${\displaystyle {}E={\left\{(x,y,z)\mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\leq r^{2}\right\}}\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c>0}$ beschrieben. Es ist das Bild der Einheitskugel

${\displaystyle {}K_{3}={\left\{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\leq 1\right\}}\,}$

unter der linearen Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {a}}}&0&0\\0&{\frac {r}{\sqrt {b}}}&0\\0&0&{\frac {r}{\sqrt {c}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}},}$

also mit ${\displaystyle {}x={\frac {r}{\sqrt {a}}}u}$, ${\displaystyle {}y={\frac {r}{\sqrt {b}}}v}$ und ${\displaystyle {}z={\frac {r}{\sqrt {c}}}w}$. Nach Fakt ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich

${\displaystyle {}\operatorname {vol} \,(E)={\frac {r^{3}}{\sqrt {abc}}}\cdot \operatorname {vol} \,(K_{3})\,.}$

Das Volumen der Einheitskugel ist ${\displaystyle {}{\frac {4}{3}}\pi }$, siehe Beispiel.