Es genügt, für die beiden Punkte ${\displaystyle {}(1,0)}$ und ${\displaystyle {}P=(a,b)\in V}$ einen Automorphismus des Kreises anzugeben, der ${\displaystyle {}(1,0)}$ in ${\displaystyle {}P}$ überführt, da man den geforderten Automorphismus dann als eine Hintereinanderschaltung solcher Morphismen (bzw. des Umkehrmorphismus) erhalten kann. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon K^{2}\rightarrow K^{2}}$, die durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

gegeben ist. Diese bildet den Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ auf ${\displaystyle {}(a,b)}$ ab. Ein Punkt ${\displaystyle {}(x,y)\in V}$ wird dabei auf ${\displaystyle {}(ax-by,bx+ay)}$ abgebildet. Für den Bildpunkt gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(ax-by)^{2}+(bx+ax)^{2}&=a^{2}x^{2}-2abxy+b^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+2abxy+a^{2}y^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})x^{2}+(a^{2}+b^{2})y^{2}\\&=x^{2}+y^{2}\\&=1,\end{aligned}}}$

d.h. der Bildpunkt liegt wieder auf dem Kreis. Somit induziert ${\displaystyle {}\varphi }$ eine (algebraische) Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$.

Entsprechend liefert die durch die Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$ gegebene inverse Abbildung einen inversen Morphismus, so dass insgesamt ein Automorphismus vorliegt.