Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$. Wir betrachten den kommutativen Ring

${\displaystyle {}S=K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,}$

und die ${\displaystyle {}S}$-Algebra

${\displaystyle {}{\begin{aligned}B&=K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\\&=S[Z,W]/{\left((1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}}$ und ${\displaystyle {}L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}}$ mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

${\displaystyle p\colon L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}\longrightarrow U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}.}$

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}D(1-X)}$ und ${\displaystyle {}D(1+X)}$ eine offene affine Überdeckung von ${\displaystyle {}U}$ ist.
2. Zeige

   ${\displaystyle {}B_{1-X}\cong S_{1-X}[W]\,}$

   und

   ${\displaystyle {}B_{1+X}\cong S_{1+X}[Z]\,}$

3. Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ ein Geradenbündel über ${\displaystyle {}U}$ ist.