Wir gehen vom Monoidhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {N} ^{2}\rightarrow \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}\varphi (e_{1})=b}$ und ${\displaystyle {}\varphi (e_{2})=a}$ aus. Das Bild ist das von ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ erzeugte Untermonoid ${\displaystyle {}M}$ von ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$. Unter dieser Abbildung werden ${\displaystyle {}ae_{1}}$ und ${\displaystyle {}be_{2}}$ auf das gleiche Element ${\displaystyle {}ab}$ abgebildet. Wenn unter ${\displaystyle {}\varphi }$ die beiden Paare ${\displaystyle {}(r,s)}$ und ${\displaystyle {}(u,v)}$ auf das gleiche Element abgebildet werden, so gilt ${\displaystyle {}rb+sa=ub+va}$ und somit ${\displaystyle {}(r-u)b=(v-s)a}$, wobei wir annehmen dürfen, dass die beiden Differenzen nichtnegativ sind. Wegen der Teilerfremdheit muss ${\displaystyle {}r-u=\ell a}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}a}$ und entsprechend ${\displaystyle {}v-s=\ell b}$ sein. Doch dann ist

${\displaystyle {}(r,s)=(u+\ell a,v-\ell b)=(u,v)+\ell (a,-b)\,}$

bzw.

${\displaystyle {}(r,s)+\ell (0,b)=(u,v)+\ell (a,0)\,.}$

Das bedeutet, dass die Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{2}}$, die zu ${\displaystyle {}\varphi }$ gehört, allein durch die eine Bedingung ${\displaystyle {}a(1,0)\sim b(0,1)}$ erzwungen wird. Es ist also

${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{2}/ae_{1}\sim be_{2}\cong M\,.}$

Das zugehörige binomiale Ideal ist ${\displaystyle {}{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}}$ und nach Fakt ist

${\displaystyle {}K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\cong K[M]\,.}$