Das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle {}\det \left(X{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\right)=\det {\begin{pmatrix}X-\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &X-\cos \alpha \end{pmatrix}}={\left(X-\cos \alpha \right)}^{2}+\sin ^{2}\alpha \,.}$

Die Nullstellen davon sind

${\displaystyle {}x_{1}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,}$

und

${\displaystyle {}x_{2}=\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha \,.}$