In der Ebene ${\displaystyle {}E}$ sei ein bestimmter Punkt ${\displaystyle {}M}$ markiert. Wir betrachten die Äquivalenzrelation, bei der zwei Punkte ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ als äquivalent gelten, wenn sie zu ${\displaystyle {}M}$ den gleichen Abstand besitzen. Dies wird durch

${\displaystyle {}d(P,M)=d(Q,M)\,}$

ausgedrückt. Dies ist eine Äquivalenzrelation, wie man direkt überprüfen kann und was auch aus Fakt folgt, da man ja die Situation mittels der Abbildung

${\displaystyle E\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,P\longmapsto d(P,M),}$

interpretieren kann. Die Äquivalenzklasse zu einem Punkt ${\displaystyle {}P}$ besteht aus allen Punkten der Ebene, die in ihrem Abstand zu ${\displaystyle {}M}$ mit ${\displaystyle {}d(P,M)}$ übereinstimmen. Dies ist genau der Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}M}$ durch den Punkt ${\displaystyle {}P}$. Die Äquivalenzklassen sind also die konzentrischen Kreise um den Mittelpunkt ${\displaystyle {}M}$, wobei man hier den Punkt ${\displaystyle {}\{M\}}$ als Kreis mit Radius ${\displaystyle {}0}$ mitzählen muss (man kann sich darüber streiten, ob das ein Kreis ist, jedenfalls ist diese einpunktige Menge hier eine Äquivalenzklasse).