Sei ${\displaystyle {}f=h+g}$ mit ${\displaystyle {}g\in U_{1}^{\perp }}$ und ${\displaystyle {}h\in U_{2}^{\perp }}$. Für ${\displaystyle {}v\in U_{1}\cap U_{2}}$ ist somit

${\displaystyle {}f(v)=g(v)+h(v)=0+0=0\,,}$

also ist ${\displaystyle {}f\in {\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }}$.

Für die andere Inklusion sei ${\displaystyle {}f\in {\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }}$ und sei ${\displaystyle {}W}$ ein direktes Komplement von ${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{2}}$ in ${\displaystyle {}U_{1}}$ und ${\displaystyle {}T\subseteq V}$ ein direktes Komplement von ${\displaystyle {}U_{1}}$ in ${\displaystyle {}V}$, also

${\displaystyle {}U_{1}={\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\oplus W\,}$

und

${\displaystyle {}V=U_{1}\oplus T={\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\oplus W\oplus T\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}h}$ die Gesamtabbildung

${\displaystyle V{\stackrel {p_{W}}{\longrightarrow }}W{\stackrel {}{\longrightarrow }}V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K.}$

Dann ist ${\displaystyle {}h}$ eingeschränkt auf ${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{2}\oplus T}$ die Nullabbildung und somit auch auf ${\displaystyle {}U_{2}}$ die Nullabbildung. Also ist ${\displaystyle {}h\in U_{2}^{\perp }}$.

Sei

${\displaystyle {}g=f-h\,.}$

Für ${\displaystyle {}v\in U_{1}}$ ist

${\displaystyle {}v=u+w\,}$

mit ${\displaystyle {}u\in U_{1}\cap U_{2}}$ und ${\displaystyle {}w\in W}$. Dabei ist

${\displaystyle {}g(u)=f(u)-h(u)=0-0=0\,}$

und

${\displaystyle {}g(w)=f(w)-h(w)=f(w)-f(w)=0\,}$

nach Definition von ${\displaystyle {}h}$. Also ist

${\displaystyle {}g(v)=0\,}$

${\displaystyle {}g\in U_{1}^{\perp }}$