Aufgrund der Division mit Rest in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${\displaystyle {}q}$ und ${\displaystyle {}r}$ mit

${\displaystyle {}0\leq r<d\,}$

mit

${\displaystyle {}n=qd+r\,.}$

Bei

${\displaystyle {}r\leq {\frac {d}{2}}\,}$

ist die Existenz bewiesen. Bei

${\displaystyle {}r>{\frac {d}{2}}\,}$

setzt man

${\displaystyle {}s:=r-d\,.}$

Es ist dann

${\displaystyle {}0>s=r-d>{\frac {d}{2}}-d=-{\frac {d}{2}}\,}$

und

${\displaystyle {}n=qd+r=(q+1)d+r-d=(q+1)d+s\,}$

ergibt die Existenz. Aus zwei Darstellungen

${\displaystyle {}kd+s=n=\ell d+t\,}$

mit ${\displaystyle {}s\geq t}$ ergibt sich

${\displaystyle {}0=(k-\ell )d+s-t\,}$

mit

${\displaystyle {}0\leq s-t<d\,}$

und die Eindeutigkeit in der Division mit Rest sichert die Eindeutigkeit in der vorliegenden Form.