Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(\pi )}$ und dem Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q=Q(R)=R_{\pi }}$. Zeige, dass durch

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow R^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow Q\longrightarrow 0,}$

wobei rechts die Basiselemente ${\displaystyle {}e_{n}}$ auf ${\displaystyle {}{\frac {1}{\pi ^{n}}}}$ und links die Basiselemente ${\displaystyle {}f_{n}}$ auf ${\displaystyle {}e_{n}-\pi e_{n+1}}$ abgebildet werden, eine endliche freie Auflösung

${\displaystyle {}Q}$