Zunächst ist ${\displaystyle {}f(a)=g(a)=h(a)=:b}$. Für die Differenzenquotienten zu einem Punkt ${\displaystyle {}x\neq a}$ gilt

${\displaystyle {}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,}$

für ${\displaystyle {}x>a}$ und

${\displaystyle {}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,}$

für ${\displaystyle {}x<a}$. Für eine Folge ${\displaystyle {}x_{n}}$, die gegen ${\displaystyle {}a}$ konvergiert, konvergieren wegen der Differenzierbarkeit von ${\displaystyle {}g}$ bzw. ${\displaystyle {}h}$ die äußeren Differentialquotienten ${\displaystyle {}{\frac {g(x_{n})-b}{x_{n}-a}}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\frac {h(x_{n})-b}{x_{n}-a}}}$ gegen ${\displaystyle {}g'(a)=h'(a)}$. Aufgrund de Quetschkriteriums, angewendet auf die Teilfolge mit ${\displaystyle {}x_{n}>a}$ bzw. die Teilfolge mit ${\displaystyle {}x_{n}<a}$ zeigt, dass auch die Folge der mittleren Differenzenquotienten ${\displaystyle {}{\frac {f(x_{n})-b}{x_{n}-a}}}$ gegen ${\displaystyle {}g'(x)=h'(x)}$