Wir betrachten den Differenzenquotienten

${\displaystyle {}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,}$

und müssen zeigen, dass der Limes für ${\displaystyle {}y\rightarrow b}$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Sei dazu ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}E\setminus \{b\}}$, die gegen ${\displaystyle {}b}$ konvergiert. Nach Fakt ist ${\displaystyle {}f^{-1}}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern ${\displaystyle {}x_{n}:=f^{-1}(y_{n})}$ gegen ${\displaystyle {}a}$. Wegen der Bijektivität ist ${\displaystyle {}x_{n}\neq a}$ für alle ${\displaystyle {}n}$. Damit ist

${\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,}$

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Fakt  (5) beruht.