(1). Wir schreiben ${\displaystyle {}f}$ bzw. ${\displaystyle {}g}$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also

${\displaystyle f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)}$

und

${\displaystyle g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a).}$

Summieren ergibt

${\displaystyle f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a).}$

Dabei ist die Summe ${\displaystyle {}r+{\tilde {r}}}$ wieder stetig in ${\displaystyle {}a}$ mit dem Wert ${\displaystyle {}0}$.
(2). Wir gehen wieder von

${\displaystyle {}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,}$

und

${\displaystyle {}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,}$

aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}}$

Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert ${\displaystyle {}0}$ für ${\displaystyle {}x=a}$.
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar ist mit Ableitung ${\displaystyle {}0}$.
(4). Es ist

${\displaystyle {}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.}$

Da ${\displaystyle {}g}$ nach Fakt stetig in ${\displaystyle {}a}$ ist, konvergiert für ${\displaystyle {}x\rightarrow a}$ der linke Faktor gegen ${\displaystyle {}-{\frac {1}{g(a)^{2}}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von ${\displaystyle {}g}$ in ${\displaystyle {}a}$ konvergiert der rechte Faktor gegen ${\displaystyle {}g'(a)}$.
(5) folgt aus (2) und (4).