Differenzen/Vier Elemente/Klammerungen/Aufgabe/Lösung

Die Klammerungsmöglichkeiten sind
$(a-b)-(c-d),\,\,(a-(b-c))-d,\,\,a-((b-c)-d),\,\,a-(b-(c-d)),\,\,((a-b)-c)-d.$
Den Term ${}a-b-c-d$ baut man von links nach rechts ab, er bedeutet also ${}((a-b)-c)-d$ .
Verlockend ist wohl eine Klammerung, bei der schnell viel wegfällt, also
${}3-3-3-3=(3-3)-(3-3)=0-0=0\,.$
Es ist
${}(a-b)-(c-d)=a+(-b)+(-c)+d\,,$

${}(a-(b-c))-d=a+(-b)+c+(-d)\,,$

${}a-((b-c)-d)=a+(-b)+c+d\,,$

${}a-(b-(c-d))=a+(-b)+c+(-d)\,,$

${}((a-b)-c)-d=a+(-b)+(-c)+(-d)\,.$
Aus der Darstellung unter (4) kann man sehen, dass die zweite und die vierte Klammerung stets zum gleichen Ergebnis führen. Wir behaupten, dass ansonsten die Ergebnisse auseinanderfallen können. Sei dazu ${}a=b=0$ , ${}c=1$ und ${}d=2$ . Dann ergeben sich der Reihe nach die Ergebnisse
$1,\,-1,\,3,\,(-1),\,-3.$

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