Die Aussage

${\displaystyle {}g(a)\neq g(b)\,}$

folgt aus Fakt. Wir betrachten die Hilfsfunktion

${\displaystyle {}h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h(a)&=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(a)\\&={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}\\&=f(b)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(b)\\&=h(b).\end{aligned}}}$

Also ist ${\displaystyle {}h(a)=h(b)}$ und Fakt liefert die Existenz eines ${\displaystyle {}c\in {]a,b[}}$ mit

${\displaystyle {}h'(c)=0\,.}$

Umstellen ergibt die Behauptung.