Wir betrachten die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$, die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch

${\displaystyle {}z=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\,}$

auf

${\displaystyle {}\varphi (z)=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i}\,}$

abbildet. Bei ${\displaystyle {}\varphi (z)}$ bezieht sich also die Ziffer ${\displaystyle {}a_{i}}$ nicht mehr auf ${\displaystyle {}10^{i}}$, sondern auf ${\displaystyle {}10^{-i}}$.

1. Berechne ${\displaystyle {}\varphi (514,73)}$.
2. Welche Dezimalbrüche werden unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf sich selbst abgebildet?
3. Gilt

   ${\displaystyle {}\varphi (z+w)=\varphi (z)+\varphi (w)\,?}$

4. Zeige, dass die Beziehung

   ${\displaystyle {}\varphi (10^{k}\cdot z)={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \varphi (z)\,}$

   für alle Dezimalbrüche ${\displaystyle {}z}$ und ganze Zahlen ${\displaystyle {}k}$ gilt.

5. Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?