Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Es sei

\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\cong {\left(K^{n}\right)}^{n}\longrightarrow K

eine Determinantenfunktion.

Dann besitzt ${}\triangle$ folgende Eigenschaften.

Wenn man eine Zeile von ${}M$ mit ${}s\in K$ multipliziert, so ändert sich ${}\triangle$ um den Faktor ${}s$ .

Wenn in ${}M$ eine Nullzeile vorkommt, so ist ${}\triangle (M)=0$ .

Wenn man in ${}M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich ${}\triangle$ mit dem Faktor ${}-1$ .

Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich ${}\triangle$ nicht.

Wenn ${}\triangle (E_{n})=1$ ist, so ist für eine obere Dreiecksmatrix ${}\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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