Die Determinante kann auch auf eine andere Art eingeführt werden, nämlich über die sogenannte Leibniz-Formel. Diese lautet für eine ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}M=(a_{ij})_{ij}}$

${\displaystyle {}\det M=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}\,.}$

Dabei wird über alle bijektiven Abbildungen (man spricht in diesem Zusammenhang von Permutationen) von ${\displaystyle {}{\{1,\ldots ,n\}}}$ auf sich summiert. Zu einer Permutation ${\displaystyle {}\sigma }$ ist das Signum (oder das Vorzeichen) ${\displaystyle {}\operatorname {sgn} (\sigma )\in \{1,-1\}}$ durch

${\displaystyle {}\operatorname {sgn} (\sigma )=\prod _{i<j}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}\,}$

definiert.