${\displaystyle {}n=1}$

${\displaystyle {}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\,.}$

Nach Induktionsvoraussetzung sind die ${\displaystyle {}\det M_{i}}$ ganzzahlig, nach Voraussetzung sind die ${\displaystyle {}a_{i1}}$ ganzzahlig, und damit ist auch diese Summe ganzzahlig.

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}=1-4=-3\,.}$