Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}'}$ Primideale oberhalb von ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$. Nach Fakt gibt es einen Automorphismus ${\displaystyle {}\sigma \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ mit ${\displaystyle {}\sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'}$. Daher gibt es einen ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$-Algebraisomorphismus ${\displaystyle {}\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\rightarrow S_{{\mathfrak {q}}'}}$, weshalb die Verzweigungsordnungen gleich sind, und einen ${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})}$-Isomorphismus der Restekörper

${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}'),}$

weshalb die Trägheitsgrade gleich sind. Die Formel aus Fakt nimmt daher die angegebene Gestalt an.