Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.

a) Zeige, dass durch

${\displaystyle D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),}$

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle {}D}$ in das Doppeldual ${\displaystyle {}(D^{\vee })^{\vee }}$ gegeben ist.

b) Es sei nun ${\displaystyle {}D}$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${\displaystyle {}m}$ der Exponent von ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus