{{ Mathematischer Text/Beweis |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei ${\displaystyle {}n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung. Nach dem chinesischen Restsatz ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.}$

Sei ${\displaystyle {}a=(a_{1},\ldots ,a_{k})}$ eine zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremde Zahl und sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}n}$ eine Carmichael-Zahl ist. Dann ist insbesondere

${\displaystyle {}(a_{i})^{n-1}=1\mod p_{i}^{r_{i}}\,}$

für jeden Index ${\displaystyle {}i}$. Wählt man für ${\displaystyle {}a_{i}}$ ein primitives Element in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})}$ (was nach Fakt möglich ist; für ${\displaystyle {}p_{i}=2}$ ist nichts zu zeigen), so hat dies die Ordnung ${\displaystyle {}(p_{i}-1)p_{i}^{r_{i}-1}}$. Da ${\displaystyle {}n-1}$ ein Vielfaches der Ordnung ist und da ${\displaystyle {}p_{i}}$ und ${\displaystyle {}n-1}$ teilerfremd sind, folgt, dass ${\displaystyle {}n-1}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p-1}$ ist. Bei ${\displaystyle {}r_{i}\geq 2}$ gibt es Elemente der Ordnung ${\displaystyle {}p_{i}}$ in ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})\right)}^{\times }}$ (auch bei ${\displaystyle {}p=2}$), und es ergibt sich der Widerspruch {{mathl|term=p {{|}} (n-1)|SZ=.}} Also sind alle Exponenten einfach.

Für die Umkehrung ist nach Voraussetzung ${\displaystyle {}r_{i}=1}$. Sei wieder ${\displaystyle {}a=(a_{1},\ldots ,a_{k})}$ eine Einheit. Dann ist

${\displaystyle {}a^{n-1}=\left(a_{1}^{n-1},\,\ldots ,\,a_{k}^{n-1}\right)=\left({\left(a_{1}^{p_{1}-1}\right)}^{\frac {n-1}{p_{1}-1}},\,\ldots ,\,{\left(a_{k}^{p_{k}-1}\right)}^{\frac {n-1}{p_{k}-1}}\right)=\left(1,\,\ldots ,\,1\right)=1\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}n}$ eine Carmichael-Zahl. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}