C/Endliche Erweiterung/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Die Reflexivität ist klar, da man bei ${}K_{1}=K_{2}$ einfach ${}L=K_{1}$ nehmen kann, da die Identität eine endliche Körpererweiterung ist. Die Symmetrie ist unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien Körper ${}K_{1},K_{2},K_{3},L_{1},L_{2}\subseteq \mathbb {C}$ mit ${}K_{1},K_{2}\subseteq L_{1}$ und ${}K_{2},K_{3}\subseteq L_{2}$ endlich gegeben. Insbesondere sind ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ endliche Oberkörper von ${}K_{2}$ . Wir können
${}L_{1}=K_{2}[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$

mit ${}x_{i}\in L$ schreiben, die über ${}K_{2}$ algebraisch sind. Damit ist

${}L_{3}:=L_{2}[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$

eine endliche Körpererweiterung, die ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ und damit auch ${}K_{1},K_{2},K_{3}$ umfasst. Nach der Gradformel ist ${}L_{3}$ endlich über diesen Körpern und daher sind auch ${}K_{1}$ und ${}K_{3}$ äquivalent.
${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {C}$ sind zueinander äquivalent, da ${}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}2$ ist.
${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {C}$ sind nicht zueinander äquivalent, da es in ${}\mathbb {C}$ über ${}\mathbb {Q}$ transzendente Elemente gibt, die nicht in einer endlichen Erweiterung von ${}\mathbb {Q}$ liegen können.

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