a) Die Jacobi-Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{y}&xe^{y}\\0&e^{-y}\end{pmatrix}}.}$

Die Determinante davon ist

${\displaystyle {}e^{y}e^{-y}=e^{y-y}=e^{0}=1\,.}$

b) Die beiden Elemente ${\displaystyle {}(0,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,2\pi i)}$ werden beide auf ${\displaystyle {}(0,-1)}$ abgebildet, deshalb ist die Abbildung nicht injektiv.

c) Das Bild ist ${\displaystyle {}\mathbb {C} \times (\mathbb {C} \setminus \{0\}}$. Da die Exponentialfunktion den Wert ${\displaystyle {}0}$ nicht annimmt, liegt das Bild in dieser Menge. Sei ${\displaystyle {}(u,v)\in \mathbb {C} ^{2}}$ mit ${\displaystyle {}v\neq 0}$ gegeben. Da die Exponentialfunktion im Komplexen auf ${\displaystyle {}\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ surjektiv abbildet (wegen ${\displaystyle {}e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\cos b)}$), gibt es ein ${\displaystyle {}y}$ mit

${\displaystyle {}-e^{-y}=v\,.}$

Mit

${\displaystyle {}x=ue^{-y}\,}$

${\displaystyle {}(u,v)}$