Die Gradienten der beiden Funktionen sind

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,f(x,y,z,w)=(1,1,5,3)\,}$

und

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,h(x,y,z,w)=\left(3x^{2}y{\sqrt {z}}w,\,x^{3}{\sqrt {z}}w,\,{\frac {1}{2}}x^{3}yz^{-{\frac {1}{2}}}w,\,x^{3}y{\sqrt {z}}\right)\,.}$

Die Lagrange-Bedingung führt auf

${\displaystyle {}\left(3x^{2}y{\sqrt {z}}w,\,x^{3}{\sqrt {z}}w,\,{\frac {1}{2}}x^{3}yz^{-{\frac {1}{2}}}w,\,x^{3}y{\sqrt {z}}\right)=\lambda (1,1,5,3)\,.}$

Multiplikation der einzelnen Zeilen mit den zugehörigen Variablen führt auf

${\displaystyle {}3x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda x\,,}$

${\displaystyle {}x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda y\,,}$

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda 5z\,}$

und

${\displaystyle {}x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda 3w\,.}$

Mit dem Ansatz

${\displaystyle {}\lambda =cx^{3}yz^{\frac {1}{2}}w\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}3=cx\,,}$

${\displaystyle {}1=cy\,,}$

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}=c5z\,}$

und

${\displaystyle {}1=c3w\,.}$

Die Preisbedingung führt auf

${\displaystyle {}100=x+y+5z+3w={\frac {3}{c}}+{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{2c}}+{\frac {1}{c}}\,}$

und damit auf

${\displaystyle {}c={\frac {3+1+{\frac {1}{2}}+1}{100}}={\frac {\frac {11}{2}}{100}}={\frac {11}{200}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle x={\frac {600}{11}},\,y={\frac {200}{11}},\,z={\frac {20}{11}}{\text{ und }}w={\frac {200}{33}}.}$