Die Funktion ${\displaystyle {}f}$ ist wegen ${\displaystyle {}f'(x)>0}$ streng wachsend und insbesondere injektiv, und definiert aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Bijektion zwischen ${\displaystyle {}[a,b]}$ und ${\displaystyle {}[f(a),f(b)]}$. Die Umkehrfunktion ${\displaystyle {}f^{-1}}$ ist ebenfalls stetig differenzierbar mit

${\displaystyle {}(f^{-1})'(y)=-{\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}\,.}$

In dieser Situation können wir die Längenformel für den Graphen anwenden und erhalten mit der Substitution ${\displaystyle {}y=f(x)}$ (und ${\displaystyle {}dy=f'(x)dx}$)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}L(f^{-1})&=\int _{f(a)}^{f(b)}{\sqrt {1+((f^{-1})'(y))^{2}}}\,dy\\&=\int _{f(a)}^{f(b)}{\sqrt {1+{\frac {1}{(f'(f^{-1}(y)))^{2}}}}}\,dy\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\frac {1}{(f'(x))^{2}}}}}\,f'(x)\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {(f'(x))^{2}+1}}\,dx\\&=L(f).\end{aligned}}}$